Question

如圖，已知：正方形ABCD中，AB=8，點O為邊AB上一動點，以點O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點E（不與點A、D重合），EF⊥OE交邊CD于點F．設BO=x，AE=y．

（1）求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（2）在點O運動的過程中，△EFD的周長是否發生變化？如果發生變化，請用x的代數式表示△EFD的周長；如果不變化，請求出△EFD的周長；
（3）以點A為圓心，OA為半徑作圓，在點O運動的過程中，討論⊙O與⊙A的位置關系，并寫出相應的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）OB、OE均是⊙O的半徑，得出OB=OE，然后在RT△AOE中，運用勾股定理可得出y與x的關系式，結合二次根式有意義的條件，可得出x的范圍；
（2）先判斷△AOE∽△DEF，然后根據相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△DEF周長的表達式，進一步化簡可得出答案；
（3）設⊙O的半徑R₁=x，則⊙A的半徑R₂=8-x，圓心距d=OA=8-x，分三種情況討論，依此解出x的范圍即可．
解答：解：（1）∵以點O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點E，
∴OB=OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴AO²+AE²=OE²，即（8-x）²+y²=x²，
∵y＞0，
∴y=4（4＜x＜8）；

（2）△EFD的周長不變．理由如下：
∵EF⊥OE，
∴∠AEO+∠DEF=90°，
∵∠D=∠A=90°，
∴∠AEO+∠AOE=90°，
∴∠DEF=∠AOE，
∴△AOE∽△DEF，
∴=，即=，
∴C_△DEF====16；

（3）設⊙O的半徑R₁=x，則⊙A的半徑R₂=8-x，圓心距d=OA=8-x，
∵4＜x＜8，
∴R₁＞R₂，
因為點A始終在⊙O內，所以外離和外切都不可能；
①當⊙O與⊙A相交時，R₁-R₂＜d＜R₁+R₂，即x-8+x＜8-x＜x+8-x，
解得：0＜x＜，
故可得此時：4＜x＜；
②當⊙O與⊙A內切時，d=R₁-R₂，即8-x=x-8+x，
解得：x=；
③當⊙O與⊙A內含時，0＜d＜R₁-R₂，即0＜8-x＜x-8+x，
解得：＜x＜8．
點評：此題屬于圓的綜合題目，涉及了圓與圓的位置關系判斷、正方形的性質、相似三角形的判定與性質，整體難度較大，其實第二問和第三問是獨立的，分別考查不同的知識點．