Question

【題目】函數f（x）=ex（﹣x2+2x+a）在區間[a，a+1]上單調遞增，則實數a的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：f（x）=ex（﹣x2+2x+a）， f′（x）=ex（﹣x2+a+2），
若f（x）在[a，a+1]上單調遞增，
則﹣x2+a+2≥0在[a，a+1]恒成立，
即a+2≥x2在[a，a+1]恒成立，
①a+1＜0即a＜﹣1時，y=x2在[a，a+1]遞減，
y=x2的最大值是y=a2 ，
故a+2≥a2 ， 解得：a2﹣a﹣2≤0，解得：﹣1＜a＜2，不合題意，舍；
②﹣1≤a≤0時，y=x2在[a，0）遞減，在（0，a+1]遞增，
故y=x2的最大值是a2或（a+1）2 ，
③a＞0時，y=x2在[a，a+1]遞增，y的最大值是（a+1）2 ，
故a+2≥（a+1）2 ， 解得：0＜a≤ ，
則實數a的最大值為： ，
綜上，a的最大值是 ，
所以答案是： ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．