Question

設二次函數y₁=ax²+bx+c（a＞b＞c）當自變量x=1時函數值為0，一次函數y₂=ax+b．
（1）求證：上述兩個函數圖象必有兩個不同的交點；
（2）若二次函數圖象與x軸有一交點的橫坐標為t，且t為奇數時，求t的值．
（3）設上述兩函數圖象的交點A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁，求線段A₁B₁的長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將兩個解析式組成一個方程組后，然后轉化為一個一元二次方程，由根的判別式就可以得出結論．
（2）由條件就可以得出其中一值為1，設出另一交點的橫坐標為t，由韋達定理就可以求出t的取值范圍，從而可以求出其t值．
（3）由條件利用求根公式可以表示出A₁、B₁的橫坐標，由數軸上的點表示出A₁B₁的值，確定出

b

a

的取值范圍，從而確定出A₁B₁的范圍，得出結論．

解答：解：（1）當自變量x=1時函數值為0，將其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正負不能確定，
聯系兩個函數，即兩線相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴兩個函數圖象必有兩個不同的交點；

（2）由（1）得，很明顯，x=1是二次函數與x軸的一個交點，滿足題意，t=1，
如果，另一個根為t，即t≠1，且t為奇數，
則兩個根為1，t，
根據韋達定理，

c

a

=1×t，-

b

a

=1+t，
a＞0，c＜0，可知

c

a

=1×t＜0，即t＜0，
又a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，得到-

b

a

＞-1，
所以，-

b

a

=1+t＞-1  即t＞-2，
t為奇數，t=-1．
∴t=±1；

（3）上述兩函數圖象的交點A．B在x軸上的射影分別為A₁．B₁，
有A₁，B₁為ax²+bx+c=ax+b的兩根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有兩根為
x₁=

a-b+ (b-a)2-4a(c-b)

2a

，x₂=

a-b- (b-a)2-4a(c-b)

2a

，
A₁B₁=

(b-a)2-4a(c-b)

a

=

(b+a)2-4ac

a

=

( b a +1)2- 4c a

，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=

( b a +1)2+ 4(b+a) a

=

( b a +1)2+4( b a +1)+4-4

=

( b a +3)2-4

．      　　　　A式
現在關鍵是求

b

a

的取值范圍．
由a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　

b

a

＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜

b

a

＜1分別代入A式為，
∴

3

2

＜A₁B₁＜2

3

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式，勾股定理的運用，函數值的運用及韋達定理的運用．