Question

現有邊長為180厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
某校九年級（2）班數學興趣小組經討論得出結論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面，進行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖．
若∠ABC=90°，設BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米²，請你寫出y關于x的函數關系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖．
若∠ABC=1 20°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大小．
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供一種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數據（不要求寫出解答過程）．

Answer 1

解：（1）①當BC=x時，AB=CD=，y=x，即y=-x²+90x，
當x=90時，y_max=4050
答：當x=90cm時，y值最大，最大值是4050cm²．
②過B、C點分別作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．
設BC=x，y=（-x²+360x+32400）
=
當x=60時，y=2700≈4676.5．
答：當x=60cm時，y值最大，最大值是4676.5cm²
4676.5＞4050

（2）正確方案：
例解：當截面為半圓時，因為180=πr，所以其半徑為r=，其面積為S=π（）²
≈5156.6＞4676.5，面積更大．
①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等．

分析：（1）根據題目所給的x的值和矩形梯形的性質，求出各線段長，把面積用含y的代數式表示出來；
（2）先猜想截面的形狀，再進行驗證計算，可多設計幾種方案．
點評：此題是一道探索性操作題，根據圖形特點將面積的最值問題轉化為二次函數的最值問題解答是解題的關鍵，（2）著重考查了同學們的實驗探索能力，需要進行猜想和驗證計算．