Question

如圖，亮亮在不打滑的平面軌道上滾動一個半徑為10cm的圓盤，其中AB=80cm，BC與水平面的夾角為60°．當圓盤從A點滾到與BC開始相切時停止，設圓盤切BC于點E，切AB于點D．
（1）當圓盤在AB上滾動一圈時，求其圓心所經過的路線長度？（精確到0.1cm）
（2）當圓盤從A點滾到與BC開始相切時，求其圓心O所經過的路線長是多少？（精確到0.1cm）
（3）設斜坡的頂端為點C點，當坡高CF為30cm時，求切點E到頂端C的距離．（精確到0.1cm）

Answer 1

分析：（1）當圓盤在AB上滾動一圈時，其圓心所經過的路線長為圓的周長，所以由圓的半徑求出圓的周長即可；
（2）當圓盤從A點滾到與BC開始相切時，連接OD和OB，根據切線性質得到三角形OBD為直角三角形且角OBD為60°，設BD=x，根據勾股定理即可列出關于x的方程，求出x的值得到BD的長，用AB-BD即可求出AD的長即為其圓心O所經過的路線長是AD的長度；
（3）在直角三角形CBF中，由CF的長和角CBF的度數，利用三角函數，即可求出BC的長，根據（2）中求出的BD長得到EB的長，利用BC-BE即可求出EC的長．

解答：解：（1）由圓的半徑10cm，得到圓的周長C=2πr=20π≈62.8cm，
所以當圓盤在AB上滾動一圈時，求其圓心所經過的路線長度是62.8cm；

（2）連接OD和OB，根據切線性質得到∠ODB=90°，∠DOB=30°，
設BD=xcm，則OB=2xcm，根據勾股定理得：DB²+OD²=OB²，
即x²=

100

3

，
解得x=

10 3

3

，
即BD=

10 3

3

cm，
所以當圓盤從A點滾到與BC開始相切時，其圓心O所經過的路線長是AD=AB-BD=80-

10 3

3

≈74.2cm；

（3）由切線性質得：BD=BE=

10 3

3

cm，
在直角△BCF中，∠CBF=60°，CF=30cm，
則BC=

CF

sin60°

=20

3

cm，
所以切點E到頂端C的距離為20

3

-

10 3

3

=28.9cm．

點評：此題考查學生掌握圓切線的性質即圓外一點作圓的兩條切線，切線長相等且圓心與這點的連線平分兩切線的夾角，靈活運用勾股定理及三角函數的定義化簡求值，考查學生將實際問題轉化為數學問題的能力，培養學生識別圖形的能力，讓學生了解數學來自于生活，又服務于生活的理念．