Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，點E是BC邊上一動點，連接AE、DE ，作△ECD的外接⊙O，交AD于點F，交AE于點G，連接FG．

（1）求證△AFG∽△AED；

（2）當BE的長為 時，△AFG為等腰三角形；

（3）如圖②，若BE＝1，求證：AB與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3、4.5、9－3；（3）詳見解析

【解析】

（1）根據圓內接四邊形的性質可得∠AGF＝∠ADE，又∠GAF＝∠DAE，從而可證明△AFG∽△AED；

（2）先證明四邊形ABEF是矩形，得EF=6，然后分當時；當時；當時三種情況，運用勾股定理求解即可；

（3）連接OM，運用梯形中位線證明OM=OD，即可．

（1）證明：∵四邊形FGED是⊙O的內接四邊形，

∴∠AGF＝∠ADE．

又∠GAF＝∠DAE，

∴△AFG∽△AED；

（2）由（1）可知△AFG∽△AED，

∴當△AFG是等腰三角形時，△AED是等腰三角形時，

連接EF，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，，

，，，

是的外接圓，

是的直徑，

，

，

，

∴四邊形是矩形，

，

是等腰三角形，

∴分三種情況：

①當時，，

，

又，

，

；

②當時，

在中，，，，

，

；

③當時

在中，，，，

綜上，當的長為或或時，為等腰三角形，

（3）設AB的中點為M，連接OM，如圖，

當時，，

∵四邊形是矩形，

，，，

在中，，

是的直徑，

，

∴四邊形是梯形，

又是AB的中點，O為DE的中點，

是梯形的中位線，

，

，

又

∴AB與相切．