Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，O是AC的中點，連接DO，過點C作CE∥DA，交DO的延長線于點E，連接AE．

（1）求證：四邊形ADCE是矩形；

（2）若F是CE上的動點（點F不與C、E重合），連接AF、DF、BE，請直接寫出圖2中與四邊形ABDF面積相等的所有的三角形和四邊形（四邊形ABDF除外）

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）S四邊形ABDF=S四邊形ABDE．

【解析】

試題分析：（1）根據全等三角形的判定求出△ADO≌△CEO，求出OD=OE，根據平行四邊形的判定得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據矩形的判定得出即可；（2）根據面積公式和等底等高的三角形的面積相等得出即可．

試題解析：（1）證明：∵CE∥DA，

∴∠OCE=∠OAD，

∵O為AC的中點，

∴OA=OC，

在△ADO和△CEO中

∴△ADO≌△CEO（ASA），

∴OD=OE，

∵OA=OC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴平行四邊形ADCE是矩形；

（2）解：圖2中與四邊形ABDF面積相等的所有的三角形和四邊形有△ABC，△BCE，矩形ADCE，四邊形ABDE，

理由是：∵△ACD和△AFD的面積相等（等底等高的三角形面積相等），

∴S△ADC=S△ADF，

∴S△ADC+S△ADB=S△ADF+S△ADB，

∴S四邊形ABDF=S△ABC；

∵S△BCE=S△ABC，

∴S四邊形ABDF=S△BCE；

∵S△ADB=S△ADC，S△ADF=S△AEC，

∴S四邊形ABDF=S矩形ADCE；

∵S△ADF=S△ADE，

∴都加上△ADB的面積得：S四邊形ABDF=S四邊形ABDE．