Question

【題目】已知：如圖1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為2cm/s；同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向點C勻速運動，速度為lcm/s；連接PQ，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），解答下列問題：

（1）當為t何值時，PQ∥BC；

（2）設△AQP的面積為y（cm2），求y關于t的函數(shù)關系式，并求出y的最大值；

（3）如圖2，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，是否存在某時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當t=時，PQ∥BC；（2）﹣（t﹣）2+，當t=時，y有最大值為；（3）存在，當t=時，四邊形PQP′C為菱形

【解析】

（1）只要證明△APQ∽△ABC，可得=，構建方程即可解決問題；

（2）過點P作PD⊥AC于D，則有△APD∽△ABC，理由相似三角形的性質構建二次函數(shù)即可解決問題；
（3）存在．由△APO∽△ABC，可得=，即=，推出OA=（5﹣t），根據(jù)OC=CQ，構建方程即可解決問題；

（1）在Rt△ABC中，AB===10，

BP=2t，AQ=t，則AP=10﹣2t，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴=，即=，

解得t=，

∴當t=時，PQ∥BC．

（2）過點P作PD⊥AC于D，則有△APD∽△ABC，

∴=，即=，

∴PD=6﹣t，

∴y=t（6﹣t）=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，y有最大值為．

（3）存在．

理由：連接PP′，交AC于點O．

∵四邊形PQP′C為菱形，

∴OC=CQ，

∵△APO∽△ABC，

∴=，即=，

∴OA=（5﹣t），

∴8﹣（5﹣t）=（8﹣t），

解得t=，

∴當t=時，四邊形PQP′C為菱形．