Question

【題目】如圖，四邊形中， ，過點作的平行線，交于點，交于點．

（1）求證：是的中點．

（2）已知，是射線上的動點．設，

①若四邊形的面積為，求關于的函數關系式；

②在①中，當為何值時，的周長最小，并求出此時的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②，．

【解析】

（1）根據平行線的性質求出，根據，推出，即可得出答案；
（2）①根據勾股定理求出AC，求出CF的長，得出四邊形BCDP是梯形，根據梯形的面積公式得出即可；
②求出CP+BP最小時，△BCP的周長最小，根據對稱得出當P到E時，△PBC的周長最小，證△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．

（1）證明：

，即是的中點

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：

∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面積y=（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周長是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周長最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A關于DF對稱，
即當點P運動到點E時，CP+BP最小，此時△PBC的周長最小， 求得AE=BE=AB=cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴，
∴，

當時，的周長最小，此時．