Question

（2009•泰安）如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線+m與x軸交于點E．
（1）求點E的坐標；
（2）求過A、O、E三點的拋物線解析式；
（3）若點P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點（不與A、E重合），設四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）由圖可作AF⊥x軸于F，根據直角三角形性質，用待定系數求E點坐標和的拋物線解析式；
（3）再作作PG⊥x軸于G，將四邊形OAPE的面積S用x來表示，將問題轉化為求函數最值問題．
解答：解：（1）作AF⊥x軸于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=
∴點A（1，）（1分）
代入直線解析式，
得，
∴m=
∴
當y=0時，
得x=4，∴點E（4，0）（3分）

（2）設過A、O、E三點拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
∵拋物線過原點
∴c=0
，
∴
∴拋物線的解析式為（6分）

（3）作PG⊥x軸于G，設P（x，y）
S_{四邊形OAPE}=S_△AOF+S_梯形AFGP+S_△PGE
=（8分）
=
當時，S_最大=．（10分）
點評：此題考查知識點多，但題難度不大，需作輔多條輔助線，在直角三角形中解題，將問題轉化為求函數最值問題．