Question

拋物線的解析式y=ax²+bx+c滿足如下四個條件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-4；a＜b＜c．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點為C．P是拋物線上第一象限內的點，AP交y軸于點D，當OD=1.5時，試比較S_△AOD與S_△DPC的大�。�

Answer 1

分析：（1）因為a不等于0故分別令c=0以及b=0時求出a，c的值．
（2）令y=0求出A，B兩點的坐標．做PG⊥x軸于G，利用線段比求出m值，然后可求出各有關線段的值．最后求解．

解答：解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
＜1＞當b=0時
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+c=3 ac=-4

，
解得

a1=-1 c1=4

或

a2=4 c2=-1

，
∵a＜b＜c，
∴

a2=4 c2=-1

，（不合意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4．（2分）
＜2＞當c=0時
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+b=3 ab=-4

，
解之得

a1=4 b1=-1

或

a2=-1 b2=4

．
∵a＜b＜c，
∴

a1=4 b1=-1

和

a2=-1 b2=4

都不合題意，舍去．（3分）
∴所求的拋物線解析式為y=-x²+4．（4分）

（2）在y=-x²+4中，當y=0時，x=±2
∴A、B兩點的坐標分別為（-2，0），（2，0），
過P作PG⊥x軸于G，設P（m，n）
∵點P在拋物線上且在第一象限內，
∴m＞0，n＞0，n=-m²+4
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2（5分）
∵OD∥PG，OD=1.5
∴

OA

AG

=

OD

PG

，即

2

2+m

=

1.5

-m2+4

解得m1=

5

4

，m2=-2（不合題意，舍去），
∴OG=

5

4

（7分）
∵當x=0時，y=4，
∴點C的坐標為（0，4）
∴DC=OC-OD=4-1.5=2.5 S_△PDC=

1

2

CD•OG=

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

S_△AOD=

1

2

AO•OD=

1

2

×1.5×2=

3

2

=

24

16

∴S_△PDC＞S_△AOD．（8分）

點評：本題綜合考查了二次函數的相關知識以及三角形面積的計算，難度較大．