Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=45°，∠BAC=90°，點A為（ ，0）、點B為（0，1），坐標系內有一動點P，使得以P、A、C為頂點的三角形和△ABC全等，則P點坐標為 ．

Answer 1

【答案】（1， +1），（2 ，﹣1），（2 +1， ﹣1）
【解析】解：∵點A坐標為（ ，0）、點B坐標為（0，1），
∴OA= ，OB=1，
∴AB= =2
∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴AB=AC=2，BC=2 ，
△ABC與△ACP全等分為三種情況：
①如圖1，延長BA到P，使AB=AP，連接CP，過P作PM⊥x軸于M，

則∠AOB=∠AMP=90°
在△AOB和△AMP中，
∵ ，
∴△AOB≌△AMP（AAS），
∴AM=AO= ，MP=OB=1，
故點P的坐標為（2 ，﹣1）；
②如圖2，過點C作CP⊥AC，使CP=AB，則△ABC≌△CPA，
故∠PAC=∠ACB=45°，AP=BC=2 ，
過P作PM⊥x軸于M，此時∠PAM=15°，在x軸上取一點N，使∠PNM=30°

∴∠PAM=∠APN=15°，即NA=NP，
設PM=x，則PN=AN=2x，NM= x，
在RT△APM中，∵AP2=AM2+PM2 ，
∴（2 ）2=（2x+ x）2+x2 ， 解得：x= ﹣1，
則AM=OA+2x+ x=2 +1，
故點P的坐標為（2 +1， ﹣1）；
③如圖3，

作CP⊥AC，使CP=AB，連接BP，則△ABC≌△CPA，
∵∠BAC=∠PCA=90°，且CP=AB，
∴四邊形ABPC是矩形，
∴AB=BP，∠ABP=90°，即∠ABO+∠PBM=90°，
過點P作PM⊥y軸，則∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠ABO=∠BPM，
在△AOB和△BMP中，
∵ ，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM=OA= ，PM=OB=1，
故點P的坐標為（1， +1）；
綜上，點P的坐標為（1， +1），（2 ，﹣1），（2 +1， ﹣1）．