Question

【題目】在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的變換點的坐標定義如下：當時，點的坐標為；當時，點的坐標為．

（1）點的變換點的坐標是_________；點的變換點為，連接，，則__________；

（2）若點是函數圖象上的一點，點的變換點為，連接，求線段長的取值范圍；

（3）已知拋物線與軸交于點，（點在點的左側），頂點為．點在拋物線上，點的變換點為．若點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（-3，1）；90；（2）；（3）m=8或m=2或m=3．

【解析】

（1）、根據對應的定義可以直接求得的坐標，然后依據題意畫出圖形，過點B作BC⊥y軸，垂足為C，過點作D⊥y軸，垂足為D，然后證明≌（SAS），由全等三角形的性質得到，然后可求得；

（2）、設點F的坐標為（x，-2x-6），依題意可得，然后依據兩點間距離公式得到的長度與x的函數關系式，從而求到的取值范圍；

（3）、拋物線的頂點E的坐標為E（-2，m），m＞0，設點P的坐標為，①若，則點，然后依據點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，可得到關于m和x的方程組，從而求到m的值；②若，則點，同理得到關于m和x的方程組，從而求到m的值．

解：（1）∵點A（3，1），3＞1，

∴點A的對應點的坐標是（-3，1）；

∵B（-4，2），-4＜2，

∴點B的對應點的坐標為（-2，-4），

過點B作BC⊥y軸，垂足為C，

過點作D⊥y軸，垂足為D，

，

,

在和中，

，

∴≌（SAS），

，

，

，

故，

故答案為：（-3，1）；90；

（2）設點F的坐標為（x，-2x-6），

當x＞-2x-6時，

解得：x＞-2，

不合題意，舍去；

當x≤-2x-6時，

解得：x＜-2，

符合題意；

∵F（x，-2x-6），且x≤-2x-6，

∴，

，

，

∴當時，

有最小值，

當時，

有最大值，

∴的取值范圍為：；

（3）由題意得的頂點E的坐標為E（-2，m），m＞0，

∵點P的坐標在上，

∴設點P的坐標為，

①若，

則點，

點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，

則，

∴m=8，符合題意；

②若，

則點，

點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，

則，

∴m=2或m=3，符合題意；

綜上所述，m=8或m=2或m=3．