Question

【題目】如圖，在中， ．點從點出發沿方向以每秒2個單位長的速度向點勻速運動，同時點從點出發沿方向以每秒1個單位長的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點、運動的時間是t秒（t>0）．過點作于點，連接、．

（1）求證： ；

（2）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的值；

如果不能，說明理由．

（3）當為何值時， 為直角三角形？直接寫出t值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）t=秒或4秒

【解析】試題分析：（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，證出DF=t=AE；
（2）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF為等邊三角形，則AEFD為菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t的值；

（3）分三種情況討論：①∠EDF=90°時；②∠DEF=90°時；③∠EFD=90°時，此種情況不存在；分別求出t的值即可．

試題解析：

（1）證明：據題意： ，

又∵，

∴

∴AE=DF

（2）解：四邊形能夠成為菱形

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF

又AE=DF，

∴四邊形為平行四邊形

當AE=AD時，平行四邊形是菱形

在Rt△中， ，

∴

設，則

則

即

解得：

∴，

又∵，

∴

帽AE=AD得：

解得：

由得， 得

而

當時

，

即

當時，平行四邊形是菱形

（3）解：①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE

即10﹣2t=2t，t=

②∠DEF=90°時，由（2）四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°

∵∠A=90°﹣∠C=60°，

∴AD=AE

即10﹣2t=t，t=4

③∠EFD=90°時，此種情況不存在

綜上所述，當t= 秒或4秒時，△DEF為直角三角形.