Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上的一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，點F是EB的中點，連結CF交AD于點G

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）求證：AG=GD；

（3）若FB=FG，且⊙O的半徑長為3，求BD．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析；(3)、2

【解析】

試題分析：(1)、要證AF是⊙O的切線，就是要證明∠FAO=90°，連接AB，根據BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結論；(2)、根據切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又點F是EB的中點，就可得出結論；(3)、點F作FH⊥AD于點H，根據前兩問的結論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的長度．

試題解析：(1)、連結AB， ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠BAC=90°． ∵F是斜邊BE的中點，

∴AF=FB=EF， ∴∠FBA=∠FAB， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO ∵BE是⊙O的切線，

∴∠EBO=90° ∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90° ∴AF是⊙O的切線；

(2)、∵BC是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線， ∴EB⊥BC． 又∵AD⊥BC， ∴AD∥BE，

∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC， ∴=，=， ∴=，

∵F是斜邊BE的中點， ∴BF=EF， ∴DG=AG；

(3)、解：過點F作FH⊥AD于點H， ∵BD⊥AD，FH⊥AD， ∴FH∥BC．由(2)，知∠FBA=∠BAF， ∴BF=AF． 由已知，有BF=FG， ∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形． ∵FH⊥AD，

∴AH=GH， ∵DG=AG， ∴DG=2HG， 即=， ∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，

∴四邊形BDHF是矩形，BD=FH， ∵FH∥BC，易證△HFG∽△DCG， ∴==，

即===． ∵⊙O的半徑長為3， ∴BC=6．

∴==， 解得BD=2． ∴BD=FH=2．