Question

【題目】如圖，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據旋轉的性質得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延長BP，作AF⊥BP于點F．AP=3，PE=4，根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數，在直角△APF中利用三角函數求得AF和PF的長，則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進而求得三角形ABC的面積．

∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC，

可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F．如圖，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，

∴△BPE為等邊三角形，

∴PE=PB=4，∠BPE=60°，

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，

∴AE2=PE2+PA2，

∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，

∴∠APB=90°+60°=150°．

∴∠APF=30°，

∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．

∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．

則△ABC的面積是AB2=（25+12）=9+．

故選：A．