Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（1，0），B（-5，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第一象限內取一點C，作CD垂直x軸于點D，連接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向左平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2-4x+5；（2）m的值為7或9；（3）Q點的坐標為（2，﹣7）或（-6，﹣7）或（-4，5）．

【解析】分析：（1）由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可求得C點坐標，設平移后的點C的對應點為C′，則C′點的縱坐標為8，代入拋物線解析式可求得C′點的坐標，則可求得平移的單位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E點坐標，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△BEF，可求得QN，即可求得Q到對稱軸的距離，則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點坐標；當BE為對角線時，由B、E的坐標可求得線段BE的中點坐標，設Q（x，y），由P點的橫坐標則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（1，0），B（-5，0）兩點，

∴，解得.

拋物線解析式為y=﹣x2-4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8.∴C（6，8）.

設平移后的點C的對應點為C′，則C′點的縱坐標為8.

代入拋物線解析式可得8=﹣x2-4x+5，

解得x=-1或x=-3.

∴C′點的坐標為（-1，8）或（-3，8）.

∵C（6，8），∴當點C落在拋物線上時，向左平移了7或9個單位，

∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2-4x+5=﹣（x+2）2+9，

∴拋物線對稱軸為x=-2.

由（2）可知E點坐標為（-1，8）.

設P（-2，t），

①當BE為平行四邊形的一邊時，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則∠BEF=∠BMP=∠QPN.

∵∠BEF=∠QNP=90°,BE=QP,

∴△EFB≌△PQN.

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4.

設Q（x，y），則QN=|x+2|，

∴|x+2|=4，解得x=2或x=-6.

當x=2或x=-6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，

∴Q點坐標為（2，﹣7）或（-6，﹣7）；

②當BE為對角線時，∵B（-5，0），E（-1，8），

∴線段BE的中點坐標為（-3，4），則線段PQ的中點坐標為（-3，4）.

設Q（x，y），且P（-2，t），

∴x-2=-3×2，解得x=4，

把x=-4代入拋物線解析式可求得y=5.

∴Q（-4，5）；

綜上可知Q點的坐標為（2，﹣7）或（-6，﹣7）或（-4，5）．