Question

【題目】如圖所示，Rt△PAB的直角頂點(diǎn)P（3，4）在函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A、B在函數(shù)y= （x＞0，0＜t＜k）的圖象上，PA∥x軸，連接OP，OA，記△OPA的面積為S△OPA ， △PAB的面積為S△PAB ， 設(shè)w=S△OPA﹣S△PAB ． ①求k的值以及w關(guān)于t的表達(dá)式；
②若用wmax和wmin分別表示函數(shù)w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a為實(shí)數(shù)，求Tmin ．

Answer 1

【答案】解：①∵點(diǎn)P（3，4）， ∴在y= 中，當(dāng)x=3時(shí)，y= ，即點(diǎn)A（3， ），
當(dāng)y=4時(shí)，x= ，即點(diǎn)B（ ，4），
則S△PAB= PAPB= （4﹣ ）（3﹣ ），
如圖，延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)C，

則PC⊥x軸，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC= ×3×4﹣ t=6﹣ t，
∴w=6﹣ t﹣ （4﹣ ）（3﹣ ）=﹣ t2+ t；
②∵w=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣6）2+ ，
∴wmax= ，
則T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ，
∴當(dāng)a= 時(shí)，Tmin= ．
【解析】（1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得S△PAB= PAPB= （4﹣ ）（3﹣ ），再根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣ t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）將（1）中所得解析式配方求得wmax= ，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】掌握比例系數(shù)k的幾何意義是解答本題的根本，需要知道幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積．