Question

（2011•盤錦）如圖，直線y=

m

3

x+m（m≠0）交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B且AB=5，過點A作直線AC⊥AB交y軸于點C．點E從坐標原點O出發，以0.8個單位/秒的速度沿y軸向上運動；與此同時直線l從與直線AC重合的位置出發，以1個單位/秒的速度沿射線AB方向平行移動．直線l在平移過程中交射線AB于點F、交y軸于點G．設點E離開坐標原點O的時間為t（t≥0）s．
（1）求直線AC的解析式；
（2）直線l在平移過程中，請直接寫出△BOF為等腰三角形時點F的坐標；
（3）直線l在平移過程中，設點E到直線l的距離為d，求d與t的函數關系．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件表示出A、B的坐標，再根據AB=5得出m的值，即可求出OB的值，再根據直線AC⊥AB交y軸于點C，得出△BOA∽△AOC，從而得出CO的值，再根據點C在y軸負半軸上，得出C點的坐標，然后設直線AC解析式為y=kx+b，把A，C點代入求出解析式；
（2）根據（1）的證明直接得出△BOF為等腰三角形時點F的坐標；
（3）先分兩種情況進行討論：當0≤t≤5時，先作ED⊥FG于D，得出ED=d，得出FG∥AC，再根據AF=t，AB=5得出BF的值，即可求出BC的值，再根據BC的值求出BG的值，再根據FG⊥AB，ED⊥FG，得出∠GDE=∠GFB=90°，求出ED∥AB，即可求出d與t的函數關系；再求當t＞5時，先作ED⊥FG于D，得出ED=d，得出FG∥AC，得出B點的坐標，求出BC的值，從而得出BE，EG的值，再根據FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，得出ED∥AB即可求出d與t的函數關系；

解答：解：（1）∵y=

m

3

x+m交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B，
∴B（0，m）、A（-3，0）．
∵AB=5，
∴m²+3²=5²，
解得m=±4．
∵m＞0，
∴m=4．
∴B（0，4）．
∴OB=4．
∵直線AC⊥AB交y軸于點C，易得△BOA∽△AOC，
∴

AO

BO

=

CO

AO

．
∴CO=

AO2

BO

=

32

4

=

9

4

．
∵點C在y軸負半軸上，
∴C（0，-

9

4

）．
設直線AC解析式為y=kx+b，
∵A（-3，0），C（0，-

9

4

），
∴

-3k+b=0 b=- 9 4

，
解得

k=- 3 4 b=- 9 4

，
∴y=-

3

4

x-

9

4

；

（2）F₁（

12

5

，

36

5

）、F₂（-

12

5

，

4

5

）、F₃．（-

3

2

，2）；

（3）分兩種情況：第一種情況：當0≤t≤5時，
如圖，作ED⊥FG于D，則ED=d．
由題意，FG∥AC，
∴

BF

BA

=

BG

BC

，
∵AF=t，AB=5，
∴BF=5-t．
∵B（0，4），
∴BC=4+

9

4

=

25

4

．
∴

5-t

5

=

BG

25 4

．
∴BG=

5

4

（5-t）．
∵OE=0.8t，OB=4，
∴BE=4-0.8t．
∴EG=

5

4

（5-t）-（4-0.8t）=

9

4

-

9

20

t．
∵FG⊥AB，ED⊥FG，
∴∠GDE=∠GFB=90°．
∴ED∥AB．
∴

EG

BG

=

ED

BF

．
∴

9 4 - 9 20 t

5 4 (5-t)

=

d

5-t

．
∴d=-

9

25

t+

9

5

．
第二種情況：當t＞5時，
如圖（2），
作ED⊥FG于D，則ED=d，
則題意，FG∥AC，
∴

BF

BA

=

BG

BC

．
∵AF=t，AB=5，
∴BF=t-5．
∵B（0，4），C（0，-

9

4

），
∴BC=4+

9

4

=

25

4

．
∴

t-5

5

=

BG

25 4

．
∴BG=

5

4

（t-5）．
∵OE=0.8t，OB=4，
∴BE=0.8t-4，EG=

5

4

（t-5）-（0.8t-4），
=

9

20

t-

9

4

．
∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，
∴ED∥AB．
∴

EG

BG

=

ED

BF

．
∴

9 20 t- 9 4

5 4 (t-5)

=

d

t-5

．
∴d=

9

25

t-

9

5

．

點評：此題考查了一次函數的綜合；解題的關鍵是求出各點的坐標，再用各點的坐標求出解析式，注意（3）中分兩種情況進行討論，不要漏掉．