Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先根據EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結論；

（2）由勾股定理求出BP的長，根據EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再根據銳角三角函數的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根據EQ=EF-QF即可得出結論．

試題解析：（1）∵EQ⊥BO，EH⊥AB，

∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，

∴△EMQ∽△BMH，

∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB與Rt△HFE中，

，

∴△APB≌△HFE，

∴HF=AP；

（2）由勾股定理得，BP=．

∵EF是BP的垂直平分線，

∴BQ=BP=2，

∴QF=BQtan∠FBQ=BQtan∠ABP=2×=．

由（1）知，△APB≌△HFE，

∴EF=BP=4，

∴EQ=EF-QF=4-=．