Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點F由點D出發沿DA方向向點A勻速運動，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分別交AC、BC于點P和Q，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）連結EF、DQ，若四邊形EQDF為平行四邊形，求t的值；

（2）連結EP，設△EPC的面積為ycm2，求y與t的函數關系式，并求y的最大值；

（3）若△EPQ與△ADC相似，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=2s；（2）；3；（3）2s、s或s．

【解析】試題分析：根據∠ADC=∠BCD=90°，FQ⊥BC得出四邊形FQCD為矩形，則CQ=DF=t，EQ=BC－BE=8－3t，根據平行四邊形的性質得，出t的值；根據Rt△ABC求出∠ACB的正切值，然后跟Rt△PQC中∠ACB的正切值得出PQ的長度，然后得出y與t的函數關系熟，求出最值；根據三角形相似得出t的值．

試題解析：（1）在矩形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，∵FQ⊥BC，∴∠FQC=90°．∴四邊形FQCD為矩形．

∴CQ=DF=t．∴EQ=BC-BE-CQ=8-2t-t=8-3t． ∵四邊形EQDF為平行四邊形， ∴EQ=DF．

∴t=8-3t． ∴t=2（s）；

（2）在Rt△ABC中，tan∠ACB=， ∴在Rt△PQC中，tan∠ACB=． ∴PQ=．

∴． ∴．∴． ∴y的最大值為3；

（3）若△EPQ與△ADC相似，t的值為2s、s或s．