Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面積是54．求證：AC⊥BD．

Answer 1

證明見解析.

試題分析：由AD∥BC，可證明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性質即可求出BE的長，過D作DF∥AC交BC延長線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，所以CF=AD，再根據勾股定理的逆定理證明BD⊥DF即可證明AC⊥BD.
試題解析：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB. ∴AE：CE=DE：BE.
∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6.
∵S_梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15.
過D作DF∥AC交BC延長線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，
∴CF="AD." ∴BF=AD+BC=15.
在△BDF中，BD²+DF²=9²+12²=225，BF²=225，∴BD²+DF²=BF². ∴BD⊥DF.
∵AC∥DF，∴AC⊥BD.