Question

【題目】在中，，在的外部作等邊三角形，為的中點，連接并延長交于點，連接．

（1）如圖1，若，求的度數；

（2）如圖2，的平分線交于點，交于點，連接．

①補全圖2；

②若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①補全圖形，如圖所示.見解析；②見解析．

【解析】

（1）分別求出∠ADF，∠ADB，根據∠BDF=∠ADF-∠ADB計算即可；
（2）①根據要求畫出圖形即可；
②設∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根據∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，構建方程求出α，再證明∠MNB=∠MBN即可解決問題；

（1）解：如圖1中，

在等邊三角形中，

，.

∵為的中點，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴.

（2）①補全圖形，如圖所示.

②證明：連接.

∵平分，

∴設，

∵，

∴.

在等邊三角形中，

∵為的中點，

∴，

∴，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

在中，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.