Question

【題目】給定一個十進制下的自然數，對于每個數位上的數，求出它除以的余數，再把每一個余數按照原來的數位順序排列，得到一個新的數，定義這個新數為原數的“模二數”，記為.如.對于“模二數”的加法規定如下:將兩數末位對齊，從右往左依次將相應數位.上的數分別相加，規定:與相加得;與相加得與相加得，并向左邊一位進.如的“模二數”相加的運算過程如下圖所示.

根據以上材料，解決下列問題:

(1)的值為______ ，的值為_

(2)如果兩個自然數的和的“模二數”與它們的“模二數”的和相等，則稱這兩個數“模二相加不變”.如，因為，所以，即與滿足“模二相加不變”.

①判斷這三個數中哪些與“模二相加不變”，并說明理由；

②與“模二相加不變”的兩位數有______個

Answer 1

【答案】（1）1011，1101；（2）①12，65，97，見解析，②38

【解析】

(1) 根據“模二數”的定義計算即可；

(2) ①根據“模二數”和模二相加不變”的定義，分別計算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案

②設兩位數的十位數字為a，個位數字為b，根據a、b的奇偶性和“模二數”和模二相加不變”的定義進行討論，從而得出與“模二相加不變”的兩位數的個數

解: (1) ，

故答案為：

①，

，

與滿足“模二相加不變”.

，，

，

與不滿足“模二相加不變”.

，

，

，

與滿足“模二相加不變”

②當此兩位數小于77時，設兩位數的十位數字為a，個位數字為b，；

當a為偶數，b為偶數時，

∴

∴與滿足“模二相加不變”有12個（28、48、68不符合）

當a為偶數，b為奇數時，

∴

∴與不滿足“模二相加不變”.但27、47、67、29、49、69符合共6個

當a為奇數，b為奇數時，

∴

∴與不滿足“模二相加不變”.但17、37、57、19、39、59也不符合

當a為奇數，b為偶數時，

∴

∴與滿足“模二相加不變”有16個，（18、38、58不符合）

當此兩位數大于等于77時，符合共有4個

綜上所述共有12+6+16+4=38

故答案為：38