Question

【題目】在矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC= ． （結果保留根號）

Answer 1

【答案】6 +3
【解析】解：延長EF和BC，交于點G

∵矩形ABCD中，BE平分∠B，

∴∠ABE=∠CBE=45°,

又∵AD∥BC,

∴∠CBE=∠AEB

∴∠ABE=∠AEB=45°，

∴AB=AE=9，

在直角三角形ABE中，

∴BE= = ，

又∵EF平分∠BED，

∴∠BEG=∠DEF

∵AD∥BC

∴∠G=∠DEF

∴∠BEG=∠G

∴BG=BE=

∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，

∴△EFD∽△GFC

∴

設CG=x，DE=2x，

∴AD=9+2x=BC

∵BG=BC+CG

∴ =9+2x+x

∴x=

∴BC=9+2×（3﹣3）=

先延長EF和BC，交于點G，再根據條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，并求得其斜邊BE的長，然后根據條件判斷三角形BEG為等腰三角形，最后根據△EFD∽△GFC得出CG與DE的倍數關系，并根據BG=BC+CG進行計算即可．