Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB=AD, 將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C. E是BD上一點，且BE>DE，連結CE并延長交AD于F，連結AE.

（1）依題意補全圖形；

（2）判斷∠DFC與∠BAE的大小關系并加以證明；

（3）若∠BAD=120°，AB=2，取AD的中點G，連結EG，求EA+EG的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）判斷：∠DFC=∠BAE. 證明見解析；（3）EA+EG的最小值為.

【解析】（1）將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C．E是BD上一點，且BE>DE，連結CE并延長交AD于F，連結AE，據此畫圖即可；（2）根據△ABE≌△CBE（SAS），可得∠BAE=∠BCE．再根據AD∥BC，可得∠DFC=∠BCE，進而得出∠DFC=∠BAE；（3）連接CG，AC，根據EC+EG≥CG可知，CG長就是EA+EG的最小值，根據△ACD為邊長為2的等邊三角形，G為AD的中點，運用勾股定理即可得出CG=，進而得到EA+EG的最小值．

（1）補全圖形如下：

（2）判斷：∠DFC=∠BAE.

證明：∵將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C.

∴BC=BA=DA=CD. ∴四邊形ABCD為菱形.

∴∠ABD=∠CBD，AD∥BC.

又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）.

∴∠BAE=∠BCE.

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCE.

∴∠DFC=∠BAE.

（3）連CG, AC.

由軸對稱可知，EA+EG=EC+EG,

CG長就是EA+EG的最小值.

∵∠BAD=120°，四邊形ABCD為菱形，

∴∠CAD=60°.

∴△ACD為邊長為2的等邊三角形.

可求得CG=.

∴EA+EG的最小值為.