Question

【題目】在ABC中，∠BCA=90°，CD是邊AB上的中線，分別過點C，D作BA，BC的平行線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE.

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DE∥BC，EC∥AB，

∴四邊形DBCE是平行四邊形．

∴EC∥DB，且EC=DB．

在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，

∴AD=DB=CD．

∴EC=AD．

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∵ED∥BC．

∴∠AOD=∠ACB．

∵∠ACB=90°，

∴∠AOD=∠ACB=90°．

∴平行四邊形ADCE是菱形；

（2）

解： 過點C作CF⊥AB于點F，由（1）可知，BC=DE，設BC=x，則AC=2x，

在Rt△ABC中，AB= ，

CD= AB= ，

因為 AB·CF= AC·BC，

所以CF= x，

則sin∠CDB= = .

【解析】（1）根據兩組對邊平行DE∥BC，EC∥AB，可得四邊形DBCE是平行四邊形．則EC∥DB，且EC=DB．再由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半，可得
AD=DB=CD，EC=AD．可得四邊形ADCE是平行四邊形．再根據對角線互相垂直的平行四邊形ADCE是菱形；（2）根據AC=2DE=2BC，設BC=x，從而可得AC，由面積法可得CF，由斜邊的中線定理得CD的長，從而可求sin∠CDB.
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．