Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點沿邊從點向點以的速度移動；同時，點從點沿邊向點以的速度移動，設點、移動的時間為．問：

當為何值時的面積等于？

當為何值時是直角三角形？

是否存在的值，使的面積最小，若存在，求此時的值及此時的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當或時，的面積等于；（2）當的值為秒或秒或秒時，是直角三角形；（3）存在，當時，有最小值．

【解析】

（1）根據，，，△PBQ的面積等于8cm2，列出關于t的方程進行求解即可；
（2）根據∠PDQ<90°，需要分兩種情況進行討論：∠DPQ=90°或∠PQD=90°，分別求得t的值即可；
（3）根據AP=t，QB=2t，PB=6-t，可得S△DPQ=S梯形ABQD-S△APD-S△BPQ=，最后根據二次函數的性質，求得當t=3時，S△DPQ有最小值27．

解：由題意得，，．

∵的面積等于，

∴，

∴解得或，

又∵，

∴當或時，的面積等于．

當時，點，分別與點，重合，

此時，，是直角三角形；

當時，，，

∴，

∴，即，

∴，

解得：或，

故當時，是直角三角形；當時，點到達點、點到達點，此時，即是直角三角形．

綜上所述，當的值為秒或秒或秒時，是直角三角形；

存在的值，使的面積最小．

由題意得，，，

∴

，

，

，

又∵，

∴當時，有最小值．