Question

【題目】在一次數學課上，老師出示了這樣一道題目：“如圖，BD是矩形ABCD的對角線，將AB沿BE折疊，使A點落在BD上的點G處，將邊CD沿DF折疊，使點C落在BD上的點H處，求證：四邊形BEDF是平行四邊形”．小麗選擇了先證明△DEG≌△BFH，再證明DE=BF，進而得到四邊形BEDF是平行四邊形，小明向老師提出了另一種證明方法．
（1）小麗證明四邊形BEDF是平行四邊形的依據是；

（2）按小明的想法寫出證明過程；
（3）當學生們完成了證明后，老師又提出如下問題，連接EH，FG，若AB=6，BC=8，試求四邊形EGFH的周長．

Answer 1

【答案】
（1）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
（2）證明：由翻折的性質可知：∠ABE=∠DBE═ ，EG=EA，FH=FC

∠BDF═∠CDF= ．

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠DBE=∠BDF，

∴BE∥DF，

又DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；

（3）解：連接EH、GF，如圖所示：

∵∠A=90°，AD=BC=8，AB=6，GB=AB=6，

∴BD= =10，

∴DG=BD﹣GB=4，

設AE=x，則DE=8﹣x，EG=AE=x，

在Rt△DGE中，由勾股定理得（8﹣x）2=x2+42，

解得x=3，

∴AE=3，

同理FH=3，

由（1）得：EG=FH，

∵EG⊥BD，FH⊥BD，

∴EG∥FH，

∴四邊形EGFH是平行四邊形，EG=FH=3，

∵BG=DH=6，

∴DG=BH=4，

∴GH=2，

在Rt△EGH中， ，

四邊形EGFH的周長為 ．

【解析】（1）解：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，∠A=∠C=90°，

∴∠EDG=∠FBH，

由折疊的性質得：∠EGB=∠A=90°，GB=AB，HD=CD，

∴∠DGE=∠BHF=90°，DG=BH，

在△DEG和△BFH中， ，

∴△DEG≌△BFH（ASA），

∴DE=BF，

又∵DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

所以答案是：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．