Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC與BC相交于O ， E為AB的中點，F為DE的中點，G為CF的中點， OH⊥DE于H ， 過A作AI⊥DE于I ， 交BD于J ， 交BC于K ， 連接BI ．

下列結論：①G到AC的距離等于 ；②OH＝ ；③BK＝ AK；④∠BIJ＝45°．其中正確的結論是
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①正確，鏈接AF、AG，
則S△AFC=S△ADC-S△CDF=2-×2×-×2×1=
∵S△AFC=2S△AGC ， 所∴S△AGC=
設G到AG的距離為h，則由ACh=
由勾股定理AC==2 ，
∴h==

②正確，連接EO并延長，交CD于點L，則EL=2，由勾股定理DE==
∵Rt△EOH∽Rt△EDL
∴ ， ∴
∴OH=

③錯誤，
∵AI⊥DE，∴∠ADE+∠DAI=90°
∵∠BAK+∠DAI=90°，∴∠BAK=∠ADE
∵∠KBA=∠EAD=90°，BA=AD
∴△BAK≌△ADE，∴BK=AE
∵點E是AB邊的中點，∴AE=BE
∴BK=AE=BE=AB≠AK.
④正確，AB=2，則BK=BE=AE=1，AK=DE=
由△BKJ∽△DAJ，得JK=AK=
由△IAE∽△BAK，得AI= ， ∴IK=
∴IKJK==1=BK2 ， 即 ，
又∠BKI=∠JKB，∴△BKI∽△KJB
∴∠BIK=∠JBK=45°
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．