Question

如圖，已知拋物線l₁：y=x²-4的圖象與x軸相交于A、C兩點，B是拋物線l₁上的動點（B不與A、C重合），拋物線l₂與l₁關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D．
（1）求l₂的解析式；
（2）求證：點D一定在l₂上；
（3）?ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積（若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積）；如果不能為矩形，請說明理由．
注：計算結果不取近似值．

Answer 1

解：（1）設l₂的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵l₁與x軸的交點為A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，-4），l₂與l₁關于x軸對稱，
∴l₂過A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，4），
∴
∴a=-1，b=0，c=4，
即l₂的解析式為y=-x²+4．
（還可利用頂點式、對稱性關系等方法解答）

（2）設點B（m，n）為l₁：y=x²-4上任意一點，則n=m²-4，（*）
∵四邊形ABCD′是平行四邊形，點A、C關于原點O對稱，
∴B、D′關于原點O對稱，
∴點D′的坐標為D′（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m²-4）=-（-m）²+4，
即點D′的坐標滿足y=-x²+4，又D與D′關于y軸對稱，
∴點D在l₂上．

（3）?ABCD能為矩形．
過點B作BH⊥x軸于H，由點B在l₁：y=x²-4上，可設點B的坐標為（x₀，x₀²-4），
則OH=|x₀|，BH=|x₀²-4|．
易知，當且僅當BO=AO=2時，?ABCD為矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x₀|²+|x₀²-4|²=2²，
（x₀²-4）（x₀²-3）=0，
∴x₀=±2（舍去）、x₀=±．
所以，當點B坐標為B（，-1）或B′（-，-1）時，?ABCD為矩形，
此時，點D的坐標分別是D（-，1）、D′（，1）．
因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．
設直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB，
∴=，
∴．
∴EO=4-2．
由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面積為
S=2S_△ACE=2××AC×EO=2××4×（4-2）=16-8．
（還可求出直線AB與y軸交點E的坐標解答）
分析：（1）根據l₁的解析式可求l₁與x軸的交點為A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，-4），l₂與l₁關于x軸對稱，實際上是l₂與l₁的頂點關于x軸對稱，即l₂的頂點為（0，4），設頂點式，可求拋物線l₂的解析式；
（2）平行四邊形是中心對稱圖形，A、C關于原點對稱，則B、D也關于原點對稱，設點B（m，n），則點D（-m，-n），由于B（m，n）點是y=x²-4上任意一點，則n=m²-4，∴-n=-（m²-4）=-m²+4=-（-m）²+4，可知點D（-m，-n）在l₂y=-x²+4的圖象上；
（3）構造∠ABC=90°是關鍵，連接OB，只要證明OB=OC即可，為求OB長，過點B作BH⊥x軸于H，用B的坐標為（x₀，x₀²-4），可求OB，用OB=OC求x₀，再計算面積．
點評：本題是一道函數型綜合題，涉及二次函數、相似形、四邊形等知識，三個小題的坡度設計很恰當，能較好地體現出試題的區分度，對第2題的證明過程要仔細領悟．