Question

【題目】閱讀下列材料：小明為了計算的值 ，采用以下方法：

設 ①

則 ②

②-①得

∴

（1）= ;

（2） = ;

（3）求的和（ ，是正整數，請寫出計算過程 ）.

Answer 1

【答案】（1）; （2） ; （3）n+1或 .

【解析】

（1）利用題中的方法設S=1+2+22+…+29，兩邊乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把兩式相減計算出S即可；

（2）利用題中的方法設S=1+3+32+33+34+…+310，兩邊乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311，然后把兩式相減計算出S即可；

（3）利用（2）的方法計算．

（1）設S=1+2+22+…+29①

則2S=2+22+…+210②

②-①得2S-S=S=210-1

∴S=1+2+22+…+29=210-1；

故答案為210-1

（2）設S=3+3+32+33+34+…+310①，

則3S=32+33+34+35+…+311②，

②-①得2S=311-1，

所以S=，

即3+32+33+34+…+310=；

故答案為；

（3）設S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，

則aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，

②-①得：（a-1）S=an+1-1，

a=1時，不能直接除以a-1，此時原式等于n+1；

a不等于1時，a-1才能做分母，所以S=，

即1+a+a2+a3+a4+..+an=.