Question

【題目】如圖，己知A（0，8），B（6，0），點M、N分別是線段AB、AO上的動點，點M從點B出發，以每秒2個單位的速度向點A運動，點N從點A出發，以每秒1個單位的速度向點O運動，點M、N中有一個點停止時，另一個點也停止。設運動時間為t秒。

（1）當t為何值時，M為AB的中點；

（2）當t為何值時，△AMN為直角三角形；

（3）當t為何值時，△AMN是等腰三角形？并求此時點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）當t=秒時，M是AB的中點；（2）當或時，△AMN為直角三角形；

（3）當，， 時，△AMN為等腰三角形，此時，M點的坐標分別是，，.

【解析】

（1）由勾股定理求出AB的長，再由中點的定義即可得出結論；

（2）運動t秒時，AN=t，BM=2t，AM=10-2t．然后分兩種情況討論：①當MN⊥AO時，△ANM∽△AOB；②當MN⊥AB時，△ANM∽△ABO；

（3）先求出M的坐標，然后分三種情況討論：①AM=AN；②MA=MN；③NA=NM．

（1）∵A（0，8），B（6，0），∴OA=8，OB=6，∴AB=10．

∵M為AB的中點，∴MB=2t=5，∴t=．

答：當t=秒時，M是AB的中點．

（2）運動t秒時，AN=t，BM=2t，AM=10-2t．

①當MN⊥AO時，△ANM∽△AOB，∴，∴，∴t=．

②當MN⊥AB時，△ANM∽△ABO，∴，∴，∴t=．

綜上：當 t=或 t=時，△AMN為直角三角形．

（3）如圖，過M作MC⊥OB于C，MD⊥OA于D．

∵AO⊥OB，∴∠MCB=∠AOB．

∵∠MBC=∠ABO，∴△MBC∽△ABO，∴，∴，∴MC=，CB=，∴OC=，∴M（，）．分三種情況討論：

①當AM=AN時，t=102t，解得：，∴M（2，）；

②當MA=MN時，過M作MF⊥AO，交AO于F，如圖：

則F是AN的中點，AF=，這時，△AFM∽△AOB，∴，∴ ，解得 ，∴M（，）；

③當NA=NM時，過N作NG⊥AB，交AB于G，如圖，則G是AM的中點，AG=5t．

這時，△AGN∽△AOB，∴，∴，解得：，∴M（，）．

綜上，當 或或時，△AMN為等腰三角形，此時，M點的坐標分別是．