Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AC上一動點（不與點A、C重合）,過D作DE⊥AB于E.

（1）當BD平分∠ABC時

①若AC=8，BC=6，求線段AE的長度；

②在①的條件下,求△ADB的面積；

（2）延長BC、ED相交于點F,若CD=CB,∠CDF=60°，求∠DBE的度數.

Answer 1

【答案】（1）① 4；②15；（2）15°.

【解析】試題分析:(1) ①先根據勾股定理求出AB,再根據角平分線的性質可證得:CD=DE,利用HL判定Rt△DCB≌Rt△DEB,所以CB=EB=6,然后根據線段和差關系計算AE的長度,

②設DC=x,則DE= x ,AD=8－x,在Rt△ADE中,利用勾股定理列方程,求出x,可得DE,然后利用三角形面積公式進行計算求△ADB的面積,

(2)根據∠CDF=60°,可得∠ADE=60°,因為DE⊥AB,所以∠DAE=90°－60°=30°,

所以∠ABC=90°－30°=60°,根據角的和差關系可求得∠DBE的度數.

試題解析:(1) ①在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,由勾股定理可得:

AB=,

因為BD平分∠ABC, ∠ACB=90°,DE⊥AB,

所以DC=DE,

在Rt△DCB和Rt△DEB中,

,

所以Rt△DCB≌Rt△DEB,

所以EB=CB=6,

所以AE=AB－EB=10-6=4,

②設DC=x,則DE= x ,AD=8－x,

在Rt△ADE中,由勾股定理可得:

,即,

解得x=3,即DE=3,

所以.

(2)因為∠CDF=60°,

所以∠ADE=60°,

因為DE⊥AB,

所以∠DAE=90°－60°=30°,

所以∠ABC=90°－30°=60°,

又因為DC=BC,∠BCD=90°,

所以∠CBD=45°,

所以∠DBE=∠ABC－∠CBD=60°－45°=15°.