Question

（2013•河北）一透明的敞口正方體容器ABCD-A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE=α，如圖1所示）．探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示．
解決問題：
（1）CQ與BE的位置關系是

CQ∥BE

，BQ的長是

3

dm；
（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V_液=底面積S_△BCQ×高AB）
（3）求α的度數．（注：sin49°=cos41°=

3

4

，tan37°=

3

4

）

拓展：在圖1的基礎上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖．若液面與棱C′C或CB交于點P，設PC=x，BQ=y．分別就圖3和圖4求y與x的函數關系式，并寫出相應的α的范圍．
延伸：在圖4的基礎上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側面的長方形隔板（厚度忽略不計），得到圖5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．繼續向右緩慢旋轉，當α=60°時，通過計算，判斷溢出容器的液體能否達到4dm³．

Answer 1

分析：（1）根據水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的長；
（2）液體正好是一個以△BCQ是底面的直棱柱，據此即可求得液體的體積；
（3）根據液體體積不變，據此即可列方程求解；
延伸：當α=60°時，如圖6所示，設FN∥EB，GB′∥EB，過點G作GH⊥BB′于點H，此時容器內液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱，求得棱柱的體積，即可求得溢出的水的體積，據此即可作出判斷．

解答：解：（1）CQ∥BE，BQ=

52-42

=3；

（2）V_液=

1

2

×3×4×4=24（dm³）；

（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=

3

4

，
∴α=∠BCQ=37°．
當容器向左旋轉時，如圖3，0°≤α≤37°，
∵液體體積不變，
∴

1

2

（x+y）×4×4=24，
∴y=-x+3．
當容器向右旋轉時，如圖4．同理可得：y=

12

4-x

；
當液面恰好到達容器口沿，即點Q與點B′重合時，如圖5，
由BB′=4，且

1

2

PB•BB′×4=24，得PB=3，
∴由tan∠PB′B=

3

4

，得∠PB′B=37°．
∴α=∠B′PB=53°．此時37°≤α≤53°；

延伸：當α=60°時，如圖6所示，設FN∥EB，GB′∥EB，過點G作GH⊥BB′于點H．
在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，
∴HB′=2

3

．
∴MG=BH=4-2

3

＜MN．
此時容器內液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱．
∵S_△NFM+S_MBB′G=

1

2

×

3

3

×1+

1

2

（4-2

3

+4）×2=8-

11 3

6

．
∴V_溢出=24-4（8-

11 3

6

）=

22 3

3

-8＞4（dm³）．
∴溢出液體可以達到4dm³．

點評：本題考查了四邊形的體積計算以及三視圖的認識，正確理解棱柱的體積的計算是關鍵．