Question

【題目】如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，點E在BC邊上，AE與BD交于點F，∠BAE＝∠DBC，

（1）求證：△ABE∽△BCD；

（2）求tan∠DBC的值；

（3）求線段BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）根據條件∠BAE＝∠DBC，再證明∠ABE＝∠C，可得出結論；（2）分別過點A、D向BC邊作垂線段，垂足分別為點G、H，證明△ABG≌△DCH 得出BG=HC，然后求出BH=2，利用勾股定理求出HD，然后利用正切的定義計算即可；（3）根據△ABE∽△BCD求出BE=，利用勾股定理求出BD的長，再根據=，求出BF的長．

試題解析：（1）∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ABE＝∠C

又∵∠BAE＝∠DBC ∴△ABE∽△BCD

（2）分別過點A、D向BC邊作垂線段，垂足分別為點G、H

∵AD∥BC ∴AG=DH, 矩形AGHD中AG=DH,

又∵AB=CD∴△ABG≌△DCH ∴BG=HC

∵AD＝1，BC＝3 ,GH =1∴HC=(3-1)÷2=1, BH=2

∴在Rt△HDC中, HD==

∴在Rt△BHD中, tan∠DBC==

（3）∵△ABE∽△BCD ∴

又∵BC＝3，AB＝CD＝2，∴BE=

∵AD∥BC , AD＝1，=

又∵BD==, ∴BF =