Question

（2006•大連）如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．
說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明．
1、畫出將△BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉90°后圖形；
2、點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（AC∥KN，如圖2）．
附加題：如圖3，若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DF=EF，就要證出∠FDE=∠FED，也就是∠BDA=∠NEC，觀察這兩個角，不能直接用角的大小關系或全等來得出相等，那么可通過構建全等三角形來得出一個和兩個分別相等的中間值，以此來證出兩角相等，那么可過C作CP⊥AC，那么我們可通過證三角形ABD和APC全等來得出∠ADB=∠ACP，通過證三角形CPN和CEN全等來得出∠MEC=∠NPC．先看第一對三角形，已知的條件有AB=AD，一組直角，而∠ABD和∠PAC都是∠ADB的余角，因此∠ABD=∠PAD，那么兩三角形就全等，可得出AC=PC=CE，∠ADB=∠NPC，又知道了∠NCE=∠PCN=45°，一條公共邊CN，那么后面的一對三角形也全等，就能得出∠ADB=∠MEC=∠NPC，也就能得出∠FDE=∠FED了由此可得證．
（2）解題思路和（1）一樣，也是先證三角形ABD和APC全等，后證三角形CPN和CEN全等，來得出結論．
解答：解：△DEF是等腰三角形
證明：如圖，過點C作CP⊥AC，交AN延長線于點P
∵Rt△ABC中AB=AC
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP
∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP
∴△BAD≌△ACP
∴AD=CP，∠ADB=∠P
∵AD=CE
∴CE=CP
∵CN=CN
∴△CPN≌△CEN
∴∠P=∠CEN
∴∠CEN=∠ADB
∴∠FDE=∠FED
∴△DEF是等腰三角形．

附加題：△DEF為等腰三角形
證明：過點C作CP⊥AC，交AM的延長線于點P
∵Rt△ABC中AB=AC
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN
∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP
∴△BAD≌△ACP
∴AD=CP，∠D=∠P
∵AD=EC，CE=CP
又∵CN=CN
∴△CPN≌△CEN
∴∠P=∠E
∴∠D=∠E
∴△DEF為等腰三角形．
點評：本題主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定與性質；通過已知和所求條件正確的構建出全等三角形是解題的關鍵．