Question

二次函數y=一x²+ax+b圖象與軸交于,兩點，且與軸交于點.

（1）則的形狀為                 ；
（2）在此拋物線上一動點,使得以四點為頂點的四邊形是梯形，則點的坐標為                     .

Answer 1

解析試題分析：（1）∵二次函數y＝-x2+ax+b的圖象經過、B（2，0）兩點，利用待定系數法就可以直接求出a、b的值，求出拋物線的解析式．
（2）在（1）題已將證得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：
①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進而可確定直線AP的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出點P的坐標．
②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．
解：（1））∵二次函數y＝-x2+ax+b的圖象經過、B（2，0）兩點，由題意，得
，解得：，
∴拋物線的解析式為：
∴C（0，1），
∴，
CB2＝BO²+CO²＝5，
，
∴AC²+CB²＝AB²，
∴△ACB是直角三角形；
（2）存在，點或；
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以BC、AP為底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直線BC的解析式為：；

設過點B且平行于AC的直線的解析式為，
將點代入得：，；
∴；
聯立拋物線的解析式有：，解得，或；
∴點；
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以AC、BP為底，
同理可求得；
故當或時，以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形．
（根據拋物線的對稱性求出另一個P點坐標亦可）
考點：二次函數綜合題；待定系數法求二次函數解析式；二次函數與不等式（組）；直角梯形．