Question

已知如圖，平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點C，點D的坐標分別為（0，4），（5，0），

OC

OA

=

1

2

，點P在BC邊上運動（不與B，C重合），當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為：

（2，4）或（3，4）或（8，4）

．

Answer 1

分析：求出OA、BC，求出的P點的橫坐標必須小于BC的長10，根據矩形的性質得出P的縱坐標是4（和C的縱坐標相等），分為兩種情況：①當OP=OD=5時，在Rt△OCP中，由勾股定理求出CP即可；②當DP=OD=5時有P和P′兩點，過D作DE⊥CB于E，由勾股定理求出PE，求出CP、CP′即可．

解答：解：∵C（0，4）D（5，0），
∴OC=4，OD=5，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA，∠PCO=90°，
∵

OC

OA

=

1

2

，C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=10，BC∥OA，
∴B（10，4），
分為兩種情況：①當OP=OD=5時，在Rt△OCP中，由勾股定理得：CP=

52-42

=3，
即P的坐標是（3，4）；
②以D為圓心，以5為半徑作弧，交CB于P、P′，此時DP=DP′=5=OD，過D作DE⊥CB于E，
∵在Rt△EDP中，DE=OC=4，由勾股定理得：PE=

52-42

=3，
∴CP=5-3=2＜BC，
∵P在BC上，BC∥OA，B（10，4），
∴P的坐標是（2，4）；
當在P′處時，CP′=5+3=8＜BC，
∵P′在BC上，BC∥OA，B（10，4），
此時P′的坐標是（8，4）．
故答案為：（2，4）或（3，4）或（8，4）．

點評：本題考查學生知識點是等腰三角形的性質、勾股定理、矩形的性質、坐標和圖形變換等，注意：應進行分類討論，題目比較好，難度適中．