Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x﹣1）2+k的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），C兩點，與y軸交于點B．

（1）求拋物線解析式及B點坐標；

（2）在拋物線上是否存在點P使S△PAC=S△ABC？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3，點B坐標為（0，﹣3）;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

(1)把A(-1,0)代入拋物線y=（x﹣1）2+k,求出k即可解決問題.(2)存在.先求出△ABC的面積,再根據已知條件求出點P的縱坐標,利用待定系數法即可解決問題.(3)存在.分三種情形討①當AQ=AB時,有兩種情形a、當在x軸上方,;b、當 在x軸下方時,利用勾股定理即可解決問題.②當BA=BQ時,此時Q在x軸上,即(1,0)③當QA=QB時,點Q在AB的垂直平分線上,求出線段AB的垂直平分線的解析式即可解決問題.

（1）把A（﹣1，0）代入拋物線y=（x﹣1）2+k得，0=4+k，

∴k=﹣4，

∴拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，

令x=0，得y=﹣3，

∴點B坐標為（0，﹣3）．

（2）存在．如圖1中，

理由：令y=0，則x2﹣2x﹣3=0，

∴x=﹣1或3，

∴點A（﹣1，0），C（3，0），

∴S△ABC=×4×3=6，

∵S△PAC=S△ABC，

∴S△PAC=，設P（m，n），

則有×4×|n|=，

∴n=，

當n=時，m2﹣2m﹣3=，解得m=﹣或，此時P（﹣，）或（，），

當n=﹣時，m2﹣2m﹣3=﹣，解得m=或，此時P（，﹣）或（，﹣）．

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣，）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．

（3）如圖2中，存在．

①當AQ=AB時，有兩種情形a、當Q1在x軸上方，此時Q1（1，）；b、當Q2在x軸下方時，此時Q2（1，﹣）．

②當BA=BQ時，此時Q在x軸上，Q3（1，0）．

③當QA=QB時，點Q在AB的垂直平分線上，

∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），

∴直線AB解析式為y=﹣3x﹣3，線段AB的中點為（﹣，﹣），

設線段AB的中垂線的解析式為y=x+m．

∴﹣=﹣+m，

∴m=﹣，

∴線段AB的中垂線的解析式為y=x﹣，與對稱軸的交點Q4（1，﹣1），

綜上所述，滿足條件的點Q坐標為（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，﹣1）．