Question

【題目】已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD垂直平分AC，

∴AB=BC，AD=DC，

在△ADB與△CDB中，

，

∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，

∵∠BCD=∠ADF，

∴∠BAD=∠ADF，

∴AB∥FD，

∵BD⊥AC，AF⊥AC，

∴AF∥BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形

（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，

∴ABDF是菱形，

∴AB=BD=5，

∵AD=6，

設BE=x，則DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，

即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x= ，

∴ = ，

∴AC=2AE=

【解析】（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因為BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據勾股定理即可求得．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．