Question

（任選一題做）
（1）如圖，∠ABC位于6×8的方格紙中，則tan(

1

2

∠ABC)=

 

．

（2）如圖，物理學家在對原子結構研究中，在一個寬m的矩形粒子加速器中，一中子從點M（點M在長邊CD上）出發沿虛線MN射向邊BC，然后反彈到邊AB上的P點．如果MC=n，∠CMN=α．那么P點與B點的距離
為

 

．

Answer 1

分析：（1）過A點作AD⊥BC，垂足為D，作∠ABC的角平分線BE，過E點作EF⊥AB，垂足為F．利用勾股定理求出AB，利用角平分線的性質求出ED，然后求出tan∠EBD即可．
（2）根據圖形的軸對稱性質可知，△PBN∽△MCN，然后利用相似三角形的對應邊成比例，將MC=n，∠CMN=α代入即可求出P點與B點的距離．

解答：（1）解：過A點作AD⊥BC，垂足為D，作∠ABC的角平分線BE，過E點作EF⊥AB，垂足為F．
∵∠ABC位于6×8的方格紙中，
∴BD=3，AD=4，AB=

AD2+BD2

=5，
∵BE是∠ABC的角平分線，EF⊥AB，
∴EF=ED，
∴BF=BD=3，則AF=AB-BF=5-3=2，
設ED為x，則AE=4-x，
x=

AE2-AF2

=

(4-x)2-22

，
則x=

3

2

，tan∠EBD=

3

2 3

=

1

2

，
∴tan（

1

2

∠ABC）=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

（2）由圖形的軸對稱性質可知，△PBN∽△MCN
∴

CN

MC

=

BN

BP

=tanα，
∵MC=n，
∴

BN

BP

=

CN

n

=tanα，
∴CN=ntanα，BN=BP•tanα，
∴CN+NB=ntanα+BP•tanα=m，
∴BP=

m-ntanα

tanα

．
故答案為：

m-ntanα

tanα

．

點評：本題考查了正切三角函數定義、角平分線的性質，矩形的性質，圖形的軸對稱性質，同時還考查了相似三角形的性質與應用，有一定的拔高難度，屬于難題．