Question

【題目】如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD中AD邊中點(diǎn)，將矩形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)D落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，連接AF

（1）求證：AF∥CE；
（2）探究線段AF，EF，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若BC=6，BG=8，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接FD交EC于P，

由折疊矩形ABCD可得，EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

∴AE=ED=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

∵∠DEF=∠EAF+∠EFA=∠DEC+∠FEC，

∴∠EAF=∠DEC，

∴AF∥EC；

（2）

∵EF=ED，CF=CD，

∴E，C兩點(diǎn)都在線段DF的中垂線上，即EC⊥DF，

∴∠DPE=90°，

∵AF∥EC，

∴∠AFD=∠DPE=∠EDC=90°，

∵∠EAF=∠DEC，∠AFD=∠EDC，

∴△AFD∽△EDC，

∴ ，即AFEC=DEAD，

∴AFEC=2EF2；

（3）

∵∠GAF+∠EAF=∠GFA+∠EFA=90°，∠EAF=∠EFA，

∴∠GAF=∠GFA，

∴AG=FG，

在Rt△BGC中，BC=6，BG=8，

CG= =10，

∵AB=CD=CF，

∴8+AG=10﹣FG，

∴AG=FG=1，

∴CF=CD=9，

∵AD=BC=6，

∴EF= AD=3，

∴在Rt△DEC中，EC= =3 ，

∵AFEC=2EF2，

∴3 ×AF=2×32，

解得，AF= ．

【解析】（1）連接FD交EC于P，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=ED=EF，求出∠EAF=∠DEC，根據(jù)平行線的判定定理證明；（2）證明△AFD∽△EDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理計(jì)算即可；（3）根據(jù)勾股定理求出CG，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)（2）的結(jié)論計(jì)算即可．