Question

如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點， （為大于2的整數），連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD、BC于點F，G，FG與BE的交點為O，連接BF和EG.
（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；
（2）當（為常數），時，求FG的長；
（3）記四邊形BFEG的面積為，矩形ABCD的面積為，當時，求的值.（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

Answer 1

（1）菱形，理由見解析；（2）；（3）6.

試題分析：（1）根據矩形和線段垂直平分線的性質，由AAS證明ΔBOF≌ΔBOG，得到BG＝GE＝EF＝FB，從而得出四邊形BFEG是菱形的結論.
（2）根據矩形和菱形的性質，反復應用勾股定理即可求得FG的長.
（3）同（2）的思路，應用特殊元素法，列出關于n的方程求解即可.
試題解析：（1）（1）菱形，理由如下：
∵FG為BE的垂直平分線，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.
又∵FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO. ∴∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG.
∴ΔBOF≌ΔBOG（AAS）. ∴BF＝BG.
∴BG＝GE＝EF＝FB. ∴BFEG為菱形.
（2）∵AB＝a，AD=2AB，，∴AD＝2a，.
∴根據勾股定理，得 BE＝. ∴OE＝.
設菱形BFEG的邊長為x，
∵AB²＋AF²＝BF²，
∴，解得：x＝.
∴OF＝.
∴FG＝.
（3）n＝6.