Question

如圖1，將一個直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線BD上滑動，并使其一條直角邊始終經過點A，另一條直角邊與BC相交于點E．
（1）求證：PA=PE；
（2）若將（1）中的正方形變為矩形，其余條件不變（如圖2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；
（3）在（2）的條件下，當P滑動到BD的延長線上時（如圖3），請你直接寫出AP：PE的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四邊形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，證△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；
（2）證△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出=，=，推出=，求出==，證△APM∽△EPN，推出=即可；
（3）過P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，證△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出=，=，推出=，求出==，證△APM∽△EPN，推出=即可．
解答：
（1）證明：過P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠MPB=45°=∠ABD，
∴PM=BM，
同理BP=BN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，
∴四邊形BMPN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴都減去∠MPE得：∠APM=∠NPE，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNE，
在△APM和△EPN中

∴△APM≌△EPN（ASA），
∴AP=PE；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，
∵∠PMB=?PNB=90°，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，
∴=，=，
∴=，
∴===，
∵∠AMP=∠ENP=90°，∠MPA=∠EPN，
∴△APM∽△EPN，
∴==，
AP：PE=5：4；

（3）解：AP：PE=5：4．
點評：本題考查了正方形的性質和判定，矩形的性質，相似三角形的性質和判定，平行線的性質的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，證明過程類似．