Question

如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線y=ax²+bx+c經過A，B，C三點，頂點為F．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：
①使得以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；
②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可直接得到點A、B的坐標，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長，則得到點C的坐標；
（2）已知點A、B、C的坐標，利用交點式與待定系數法求出拋物線的解析式，由解析式得到頂點F的坐標；
（3）①△ABC中，底邊AB上的高OC=4，若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|y_M|=4．因此解方程y_M=4和y_M=-4，可求得點M的坐標；
②如解答圖，作輔助線，可求得EM=5，因此點M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的長度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形，∠EMF=90°，所以直線MF與⊙E相切．
解答：解：（1）∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，
∴A（-2，0），B（8，0）．
如解答圖所示，連接CE．
在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
由勾股定理得：OC===4．
∴C（0，-4）．

（2）∵點A（-2，0），B（8，0）在拋物線上，
∴可設拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-8）．
∵點C（0，-4）在拋物線上，
∴-4=a×2×-8，解得a=．
∴拋物線的解析式為：y=（x+2）（x-8）=x²-x-4=（x-3）²-
∴頂點F的坐標為（3，-）．

（3）①∵△ABC中，底邊AB上的高OC=4，
∴若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|y_M|=4．
（I）若y_M=4，則x²-x-4=4，
整理得：x²-6x-32=0，解得x=3+或x=3-．
∴點M的坐標為（3+，4）或（3-，4）；
（II）若y_M=-4，則x²-x-4=-4，
整理得：x²-6x=0，解得x=6或x=0（與點C重合，故舍去）．
∴點M的坐標為（6，-4）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為：（3+，4），（3-，4）或（6，-4）．
②直線MF與⊙E相切．理由如下：
由題意可知，M（6，-4）．
如解答圖所示，連接EM，MF，過點M作MG⊥對稱軸EF于點G，
則MG=3，EG=4．
在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME===5，
∴點M在⊙E上．
由（2）知，F（3，-），∴EF=，
∴FG=EF-EG=．
在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF===．
在△EFM中，∵EM²+MF²=5²+（）²=（）²=EF²，
∴△EFM為直角三角形，∠EMF=90°．
∵點M在⊙E上，且∠EMF=90°，
∴直線MF與⊙E相切．
點評：本題是代數幾何綜合題，主要考查了拋物線與圓的相關知識，涉及到的考點有二次函數的圖象與性質、勾股定理及其逆定理、切線的判定、解一元二次方程等．第（3）①問中，點M在x軸上方或下方均可能存在，注意不要漏解．