Question

附加題：
已知將一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上．將直角三角板OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線上時(shí)，∠BOD的度數(shù)是

 

；如圖2，若要OB恰好平分∠COD，則∠AOC的度數(shù)是

 

．

（2）如圖3，當(dāng)三角板OCD擺放在∠AOB內(nèi)部時(shí)，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，∠MON的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．

（3）當(dāng)三角板OCD從圖1的位置開始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，保持射線OM平分∠AOC、射線ON平分∠BOD（∠AOC≤180°，∠BOD≤180°），在旋轉(zhuǎn)過程中，（2）中的結(jié)論是否保持不變？如果保持不變，請(qǐng)說明理由；如果變化，請(qǐng)說明變化的情況和結(jié)果（即旋轉(zhuǎn)角度a在什么范圍內(nèi)時(shí)∠MON的度數(shù)是多少）．

Answer 1

分析：利用三角板角的特征和角平分線的定義解答：
（1）由圖可得角之間的關(guān)系：∠BOD=90°-∠COD，∠AOC=90°-

1

2

∠COD，據(jù)此解答；
（2）由圖可得角之間的關(guān)系：∠MON=

1

2

（∠AOB-∠COD）+∠COD；
（3）可分以下情況考慮：①當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)；②α=180°時(shí)，兩種情況：點(diǎn)M在OB上和點(diǎn)M在BO上；③180°＜α＜240°時(shí)；④α=240°，⑤240°＜α＜360°時(shí)五種情況討論．

解答：解：（1）∠BOD=90°-∠COD=90°-30°=60°，
∠AOC=90°-

1

2

∠COD=90°-

1

2

×30°=75°．

（2）不變，60°．
根據(jù)圖中所示∠MON=

1

2

（∠AOB-∠COD）+∠COD=

1

2

（90°-30°）+30°=60度．

（3）①當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，
∠MON=

1

2

（90°+∠BOC）+

1

2

（30°+∠BOC）-∠BOC=60°
②α=180°時(shí)，即∠AOC為平角，
（1）點(diǎn)M在OB上，
∴∠MOD=∠BOC+∠COD=90°+30°=120°，
又∵ON平分∠BOD，
∴∠MON=120×

1

2

=60度．
（2）點(diǎn)M在BO上，
∠MON=180°-60°=120度．
故∠MON=60°或120°
③180°＜α＜240°時(shí)，
2（30°+∠MOD）+90°+∠CON+（∠CON+30°）=360°，
解得：∠MOD+∠CON=90°，則
∠MON=90°+30°=120°
③當(dāng)α=240°時(shí)，∠BOD=180°，那么此時(shí)N可以平分在∠BOD的左邊，使得∠MON=60°，N平分在∠BOD的右邊，那么∠MON=120°
⑤240°＜α＜360°時(shí)，
∠MON=

1

2

（30°-∠AOD）+

1

2

（90°-∠AOD）+∠AOD=60度．

點(diǎn)評(píng)：此題很復(fù)雜，難點(diǎn)是找出變化過程中的不變量，需要結(jié)合圖形來(lái)計(jì)算，對(duì)同學(xué)們的作圖、分析、計(jì)算能力有較高要求．在計(jì)算分析的過程中注意動(dòng)手操作，在旋轉(zhuǎn)的過程中得到不變的量．