Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B₁、點C₁的坐標分別為（1，0），(1，

3

)，將△OB₁C₁繞原點O逆時針旋轉60°，再將其各邊都擴大為原來的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂．將△OB₂C₂繞原點O逆時針旋轉60°，再將其各邊都擴大為原來的m倍，使OB₃=OC₂，得到△OB₃C₃，如此下去，得到△OB_nC_n．
（1）m的值是

 

；
（2）△OB₂₀₁₁C₂₀₁₁中，點C₂₀₁₁的坐標：

 

．

Answer 1

分析：（1）易得OB₂=mOB₁=OC₁，根據最初的三角形中OB₁，OC₁的關系可得m的值；
（2）可得旋轉6次后，正好旋轉一周，那么可得點C₂₀₁₁的坐標跟C₁的坐標在一條射線上，其橫縱坐標均為原來的2010倍．

解答：解：（1）在△OB₁C₁中，
∵OB₁=1，B₁C₁=

3

，
∴tan∠C₁OB₁=

3

，
∴∠C₁OB₁=60°，OC₁=2，
∵OB₂=mOB₁，OB₂=OC₁，
∴m=2，
故答案為2；

（2）∵每一次的旋轉角是60°，
∴旋轉6次后C在x軸正半軸上，
∴2011÷6=335…1，
∴點C₂₀₁₁的坐標跟C₁的坐標在一條射線上，
∵第2次旋轉后，各邊長是原來的2倍，第3次旋轉后，各邊長是原來的2²倍，
∴點C₂₀₁₁的橫縱坐標均為原來的2010倍．
故答案為（2²⁰¹⁰，2²⁰¹⁰

3

）．

點評：考查規律旋轉后點的坐標；得到所求點的位置是解決本題的突破點；得到坐標的規律是解決本題的難點．