Question

【題目】已知關于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．

（1）求證：無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設方程兩實數根分別為x1，x2，且滿足，求實數p的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）根與系的關系

【解析】

試題分析：（1）先把方程化成一般形式，在計算根的判別式，判定△＞0，方即可得程總有兩個不相等的實數根；（2）根據一元二次方程根與系的關系可得兩根和與兩根積，再把變形，化成和與乘積的形式，代入計算，得到一個關于p的一元二次方程，解方程即可求解．

試題解析：證明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，

x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，

∵無論p取何值時，總有4p2≥0，

∴1+4p2＞0，

∴無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，

∵，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，

∴52=5（6﹣p2），

∴p=±1．