Question

【題目】(2016·棗莊中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝

－1，且拋物線經(jīng)過(guò)A(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B.

(1)若直線y＝mx＋n經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸x＝－1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x＝－1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y＝x＋3 (2) (－1，2) (3) (－1，－2)或(－1，4)或或

解：(1)依題意得解得∴拋物線解析式為y＝－x2－2x＋3.∵對(duì)稱軸為直線x＝－1，且拋物線經(jīng)過(guò)A(1，0)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分別代入直線y＝mx＋n，得解得∴直線BC的解析式為y＝x＋3；

(2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x＝－1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA＋MC的值最小．把x＝－1代入y＝x＋3得y＝2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，2)，即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，2)；

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，t)．又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(－1，4)或或.

【解析】試題分析：（1）.先把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得a和b的關(guān)系，聯(lián)立得到方程組求解即可得出a，b，c的值，從而得到拋物線解析式；

把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx＋n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；

（2）.設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x＝1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA＋MC的值最小，把x=1代入直線y=x＋3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；

（3）.設(shè)P（1，t），又因?yàn)?/span>B（3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2=(1＋3)2＋t2=4＋t2，PC2=(1)2＋(t3)2=t26t＋10，分別以B、P、C為直角頂點(diǎn)三種情況討論求出符合題意的t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1)依題意得解得∴拋物線解析式為y＝－x2－2x＋3.∵對(duì)稱軸為直線x＝－1，且拋物線經(jīng)過(guò)A(1，0)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分別代入直線y＝mx＋n，得解得∴直線BC的解析式為y＝x＋3；

(2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x＝－1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA＋MC的值最小．把x＝－1代入y＝x＋3得y＝2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，2)，即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，2)；

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，t)．又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(－1，4)或或.